微积分学示例

$e^{- \frac{2}{x}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{2}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- \frac{2}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $- \frac{2}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- \frac{2}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$e^{- \frac{2}{x}} (- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$e^{- \frac{2}{x}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{- \frac{2}{x}} (- 2 (- x^{- 2}))$

解题步骤 2.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$e^{- \frac{2}{x}} (2 x^{- 2})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

重新排序 $e^{- \frac{2}{x}} (2 x^{- 2})$ 的因式。

$2 e^{- \frac{2}{x}} x^{- 2}$

解题步骤 3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 e^{- \frac{2}{x}} \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

乘以 $2 e^{- \frac{2}{x}} \frac{1}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{x^{2}} e^{- \frac{2}{x}}$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{2}{x^{2}}$ 和 $e^{- \frac{2}{x}}$ 。

$\frac{2 e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}}$

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