微积分学示例

$\frac{d}{d x} \cdot (\ln ({(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}]$

解题步骤 1.3

使用 ${(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \frac{x + 4}{x + 5}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{x + 4}{x + 5}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{x + 5}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{x + 5}])$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{x + 4}{x + 5}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{x + 5}])$

解题步骤 3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 4$ 且 $g (x) = x + 5$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 4.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 4.4.2

将 $x + 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 4.5

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 4.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 4.8

合并分数。

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解题步骤 4.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 4.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4)}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 4.8.3

组合 $\frac{x + 5 - (x + 4)}{{(x + 5)}^{2}}$ 和 $3$ 。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (\frac{(x + 5 - (x + 4)) \cdot 3}{{(x + 5)}^{2}} {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2})$

解题步骤 4.8.4

将 $3$ 移到 $x + 5 - (x + 4)$ 的左侧。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (\frac{3 \cdot (x + 5 - (x + 4))}{{(x + 5)}^{2}} {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

对 $\frac{x + 4}{x + 5}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 (x + 5 - (x + 4))}{{(x + 5)}^{2}} {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2})$

解题步骤 5.2

对 $\frac{x + 4}{x + 5}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 (x + 5 - (x + 4))}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 (x + 5 - x - 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 5.5

合并项。

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解题步骤 5.5.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}$ 。

$1 \frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 5.5.2

将 $\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 5.5.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 5.5.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 - 3 x + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 5.5.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 - 3 x + 3 \cdot - 4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 5.5.6

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 - 3 x - 12}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 5.5.7

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{0 + 15 - 12}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 5.5.8

将 $0$ 和 $15$ 相加。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{15 - 12}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 5.5.9

从 $15$ 中减去 $12$ 。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

解题步骤 5.5.10

将 $\frac{3}{{(x + 5)}^{2}}$ 乘以 $\frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$ 。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} \cdot \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 5.5.11

通过指数相加将 ${(x + 5)}^{2}$ 乘以 ${(x + 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.11.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} \cdot \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2 + 2}}$

解题步骤 5.5.11.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} \cdot \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{4}}$

解题步骤 5.5.12

将 $\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}}$ 乘以 $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{4}}$ 。

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}}$

解题步骤 5.5.13

将 $3$ 移到 ${(x + 5)}^{3}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot {(x + 5)}^{3} {(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}}$

解题步骤 5.5.14

约去 ${(x + 5)}^{3}$ 和 ${(x + 5)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.14.1

从 $3 {(x + 5)}^{3} {(x + 4)}^{2}$ 中分解出因数 ${(x + 5)}^{3}$ 。

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}}$

解题步骤 5.5.14.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.14.2.1

从 ${(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}$ 中分解出因数 ${(x + 5)}^{3}$ 。

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 5)}^{3} ({(x + 4)}^{3} (x + 5))}$

解题步骤 5.5.14.2.2

约去公因数。

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 5)}^{3} ({(x + 4)}^{3} (x + 5))}$

解题步骤 5.5.14.2.3

重写表达式。

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{3} (x + 5)}$

解题步骤 5.5.15

约去 ${(x + 4)}^{2}$ 和 ${(x + 4)}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.15.1

从 $3 {(x + 4)}^{2}$ 中分解出因数 ${(x + 4)}^{2}$ 。

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 3}{{(x + 4)}^{3} (x + 5)}$

解题步骤 5.5.15.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.15.2.1

从 ${(x + 4)}^{3} (x + 5)$ 中分解出因数 ${(x + 4)}^{2}$ 。

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 3}{{(x + 4)}^{2} ((x + 4) (x + 5))}$

解题步骤 5.5.15.2.2

约去公因数。

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 3}{{(x + 4)}^{2} ((x + 4) (x + 5))}$

解题步骤 5.5.15.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{(x + 4) (x + 5)}$

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