微积分学示例

${\cot (x)}^{\tan (x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 ${\cot (x)}^{\tan (x)}$ 重写为 $e^{\ln ({\cot (x)}^{\tan (x)})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cot (x)}^{\tan (x)})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $\tan (x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({\cot (x)}^{\tan (x)})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\tan (x) \ln (\cot (x))}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \tan (x) \ln (\cot (x))$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (x) \ln (\cot (x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\cot (x))]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\cot (x))]$

解题步骤 2.3

使用 $\tan (x) \ln (\cot (x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\cot (x))]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = \ln (\cot (x))$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\ln (\cot (x))] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cot (x)$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 4.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 4.3

使用 $\cot (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{1}{\cot (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 5

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 6

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 7

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\tan (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 8

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{1} (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 9

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} ({\tan (x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 12

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 13

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \ln (\cot (x)) \sec^{2} (x))$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{2} (x) (- \csc^{2} (x))) + e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\ln (\cot (x)) \sec^{2} (x))$

解题步骤 14.2

去掉圆括号。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \tan^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \ln (\cot (x)) \sec^{2} (x)$

解题步骤 14.3

重新排序项。

$- e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \csc^{2} (x) \tan^{2} (x) + e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \sec^{2} (x) \ln (\cot (x))$

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