微积分学示例

$\frac{\arctan (x) - \frac{π}{4}}{x - 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \arctan (x) - \frac{π}{4}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [\arctan (x) - \frac{π}{4}] - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2

根据加法法则， $\arctan (x) - \frac{π}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ 。

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]) - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 3

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]) - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- \frac{π}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{π}{4}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{1 + x^{2}} + 0) - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4})}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) - - \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $x - 1$ 乘以 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) - - \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2

乘以 $- - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) + 1 \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2.2

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

要将 $- \arctan (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.3

组合 $- \arctan (x)$ 和 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} + \frac{- \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x - 1 - \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5

化简每一项。

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解题步骤 5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.5.1.1

运用分配律。

$\frac{\frac{x - 1 - \arctan (x) \cdot 1 - \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{x - 1 - \arctan (x) - \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.1.3

重新排序项。

$\frac{\frac{- x^{2} \arctan (x) + x - 1 - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.1.4

以因式分解的形式重写 $- x^{2} \arctan (x) + x - 1 - \arctan (x)$ 。

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解题步骤 5.2.5.1.4.1

重新组合项。

$\frac{\frac{- 1 - x^{2} \arctan (x) + x - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.1.4.2

从 $- x^{2} \arctan (x) + x - \arctan (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 5.2.5.1.4.2.1

将 $- x^{2} \arctan (x)$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{\frac{- 1 + x - x^{2} \arctan (x) - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.1.4.2.2

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x) - x^{2} \arctan (x) - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.1.4.2.3

从 $- x^{2} \arctan (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x) - (x^{2} \arctan (x)) - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.1.4.2.4

从 $- \arctan (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x) - (x^{2} \arctan (x)) - (\arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.1.4.2.5

从 $- 1 (- x) - (x^{2} \arctan (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x + x^{2} \arctan (x)) - (\arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.1.4.2.6

从 $- 1 (- x + x^{2} \arctan (x)) - (\arctan (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.1.4.2.7

将 $- 1 (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ 重写为 $- (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ 。

$\frac{\frac{- 1 - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.1.4.3

重新排序项。

$\frac{\frac{- 1 - (x^{2} \arctan (x) - x + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.1.4.4

从 $- 1 - (x^{2} \arctan (x) - x + \arctan (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 5.2.5.1.4.4.1

将 $x^{2} \arctan (x)$ 和 $- x$ 重新排序。

$\frac{\frac{- 1 - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.1.4.4.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{\frac{- 1 (1) - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.1.4.4.3

从 $- 1 (1) - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 1 (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.1.4.4.4

将 $- 1 (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ 重写为 $- (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ 。

$\frac{\frac{- (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.1.4.5

重新排序项。

$\frac{\frac{- (x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.6

要将 $- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.7

要将 $\frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + x^{2}) \cdot 4$ 的形式。

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解题步骤 5.2.8.1

将 $\frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- \frac{(x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4}{(1 + x^{2}) \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.8.2

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{- \frac{(x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4}{(1 + x^{2}) \cdot 4} + \frac{π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.8.3

重新排序 $(1 + x^{2}) \cdot 4$ 的因式。

$\frac{- \frac{(x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4}{4 (1 + x^{2})} + \frac{π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- (x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.10

化简分子。

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解题步骤 5.2.10.1

运用分配律。

$\frac{\frac{(- (x^{2} \arctan (x)) - - x - 1 \cdot 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.10.2

化简。

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解题步骤 5.2.10.2.1

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 5.2.10.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{(- x^{2} \arctan (x) + 1 x - 1 \cdot 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.10.2.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{(- x^{2} \arctan (x) + x - 1 \cdot 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.10.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{(- x^{2} \arctan (x) + x - 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.10.3

运用分配律。

$\frac{\frac{- x^{2} \arctan (x) \cdot 4 + x \cdot 4 - 1 \cdot 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.10.4

化简。

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解题步骤 5.2.10.4.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.10.4.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 \cdot x - 1 \cdot 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.10.4.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 \cdot x - 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.10.4.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 \cdot x - 4 - 4 \arctan (x) + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.10.5

运用分配律。

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 x - 4 - 4 \arctan (x) + π \cdot 1 + π x^{2}}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.10.6

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 x - 4 - 4 \arctan (x) + π + π x^{2}}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.10.7

重新排序项。

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + π x^{2} + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.11

从 $- 4 x^{2} \arctan (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x)) + π x^{2} + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.12

从 $π x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x)) - (- π x^{2}) + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.13

从 $- (4 x^{2} \arctan (x)) - (- π x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2}) + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.14

从 $4 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2}) - (- 4 x) - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.15

从 $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2}) - (- 4 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x) - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.16

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x) - 1 (4) + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.17

从 $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x) - 1 (4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4) + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.18

从 $π$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4) - 1 (- π) - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.19

从 $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4) - 1 (- π)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π) - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.20

从 $- 4 \arctan (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π) - (4 \arctan (x))}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.21

从 $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π) - (4 \arctan (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.22

将 $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))$ 重写为 $- 1 (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))$ 。

$\frac{\frac{- 1 (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.23

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3

合并项。

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解题步骤 5.3.1

将 $\frac{- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}$ 。

$- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{{(x - 1)}^{2} (4 (1 + x^{2}))}$

解题步骤 5.3.3

将 $4$ 移到 ${(x - 1)}^{2}$ 的左侧。

$- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 {(x - 1)}^{2} (1 + x^{2})}$

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