微积分学示例

$\frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

解题步骤 1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}]$

解题步骤 2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 9

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 10

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

解题步骤 11

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

解题步骤 12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x)$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 14.2

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 。

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解题步骤 14.2.1

运用分配律。

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 14.2.2

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 14.2.3

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 14.3

合并 $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 14.3.1

按照 $\cos (x) (- \sin (x))$ 和 $\sin (x) \cos (x)$ 重新排列因数。

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 14.3.2

将 $- \cos (x) \sin (x)$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 相加。

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 14.3.3

将 $\cos (x) \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 14.4

化简每一项。

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解题步骤 14.4.1

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 14.4.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 14.4.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 14.4.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 14.4.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

解题步骤 14.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

解题步骤 14.4.3

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 14.4.3.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

解题步骤 14.4.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

解题步骤 14.4.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 14.4.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

解题步骤 14.5

使用余弦倍角公式。

$\cos (2 x)$

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