微积分学示例

$\frac{8 x}{\sin (x) + \cos (x)}$

解题步骤 1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8 x}{\sin (x) + \cos (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 。

$8 \frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 \frac{(\sin (x) + \cos (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $\sin (x) + \cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $\sin (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6

组合 $8$ 和 $\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ 。

$\frac{8 (\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{8 (\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) - x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) + 8 (- x \cos (x)) + 8 (- x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 (x \cos (x)) + 8 (- x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.2

乘以 $- x (- \sin (x))$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 x \cos (x) + 8 (1 x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 x \cos (x) + 8 (x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 x \cos (x) + 8 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$\frac{- 8 x \cos (x) + 8 x \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.5

从 $- 8 x \cos (x) + 8 x \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 7.5.1

从 $- 8 x \cos (x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 x \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.5.2

从 $8 x \sin (x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x)) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.5.3

从 $8 \sin (x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x)) + 8 (\sin (x)) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.5.4

从 $8 \cos (x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x)) + 8 (\sin (x)) + 8 (\cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.5.5

从 $8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x))$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x \cos (x) + x \sin (x)) + 8 (\sin (x)) + 8 (\cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.5.6

从 $8 (- x \cos (x) + x \sin (x)) + 8 (\sin (x))$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x)) + 8 (\cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.5.7

从 $8 (- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x)) + 8 (\cos (x))$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.6

从 $- x \cos (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x \cos (x)) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.7

从 $x \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x \cos (x)) - (- x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.8

从 $- (x \cos (x)) - (- x \sin (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.9

从 $\sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x)) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.10

从 $- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.11

从 $\cos (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.12

从 $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.13

将 $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ 重写为 $- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ 。

$\frac{8 (- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7.14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

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