微积分学示例

$\frac{8 \ln (x)}{x^{8}}$

解题步骤 1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8 \ln (x)}{x^{8}}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{8}}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{8}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{8}$ 。

$8 \frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{{(x^{8})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${(x^{8})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 \frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{8 \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$8 \frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

解题步骤 4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$8 \frac{x^{8} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1

组合 $x^{8}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$8 \frac{\frac{x^{8}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

解题步骤 5.2

约去 $x^{8}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $x^{8}$ 中分解出因数 $x$ 。

$8 \frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 \frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

解题步骤 5.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$8 \frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

解题步骤 5.2.2.3

约去公因数。

$8 \frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

解题步骤 5.2.2.4

重写表达式。

$8 \frac{\frac{x^{7}}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

解题步骤 5.2.2.5

用 $x^{7}$ 除以 $1$ 。

$8 \frac{x^{7} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$8 \frac{x^{7} - \ln (x) (8 x^{7})}{x^{16}}$

解题步骤 5.4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$8 \frac{x^{7} - 8 \ln (x) x^{7}}{x^{16}}$

解题步骤 5.4.2

从 $x^{7} - 8 \ln (x) x^{7}$ 中分解出因数 $x^{7}$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

乘以 $1$ 。

$8 \frac{x^{7} \cdot 1 - 8 \ln (x) x^{7}}{x^{16}}$

解题步骤 5.4.2.2

从 $- 8 \ln (x) x^{7}$ 中分解出因数 $x^{7}$ 。

$8 \frac{x^{7} \cdot 1 + x^{7} (- 8 \ln (x))}{x^{16}}$

解题步骤 5.4.2.3

从 $x^{7} \cdot 1 + x^{7} (- 8 \ln (x))$ 中分解出因数 $x^{7}$ 。

$8 \frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{16}}$

解题步骤 6

约去公因数。

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解题步骤 6.1

从 $x^{16}$ 中分解出因数 $x^{7}$ 。

$8 \frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{7} x^{9}}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$8 \frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{7} x^{9}}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$8 \frac{1 - 8 \ln (x)}{x^{9}}$

解题步骤 7

组合 $8$ 和 $\frac{1 - 8 \ln (x)}{x^{9}}$ 。

$\frac{8 (1 - 8 \ln (x))}{x^{9}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{8 \cdot 1 + 8 (- 8 \ln (x))}{x^{9}}$

解题步骤 8.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8 + 8 (- 8 \ln (x))}{x^{9}}$

解题步骤 8.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 8 \ln (x)$ 。

$\frac{8 + 8 (- \ln (x^{8}))}{x^{9}}$

解题步骤 8.2.3

乘以 $8 (- \ln (x^{8}))$ 。

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解题步骤 8.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{8 - 8 \ln (x^{8})}{x^{9}}$

解题步骤 8.2.3.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 8 \ln (x^{8})$ 。

$\frac{8 - \ln ({(x^{8})}^{8})}{x^{9}}$

解题步骤 8.2.4

将 ${(x^{8})}^{8}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{8 - \ln (x^{8 \cdot 8})}{x^{9}}$

解题步骤 8.2.4.2

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$\frac{8 - \ln (x^{64})}{x^{9}}$

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