微积分学示例

$\sec^{2} (x - 1)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x - 1)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec (x - 1)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x - 1)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x - 1)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sec (x - 1)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \sec (x - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x - 1)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x - 1$ 。

$2 \sec (x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 2.2

$\sec (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 。

$2 \sec (x - 1) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \sec (x - 1) (\sec (x - 1) \tan (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 3

对 $\sec (x - 1)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sec^{1} (x - 1) \sec (x - 1)) (\tan (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 4

对 $\sec (x - 1)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sec^{1} (x - 1) \sec^{1} (x - 1)) (\tan (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 {\sec (x - 1)}^{1 + 1} (\tan (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \sec^{2} (x - 1) (\tan (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 7

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$2 \sec^{2} (x - 1) \tan (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \sec^{2} (x - 1) \tan (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \sec^{2} (x - 1) \tan (x - 1) (1 + 0)$

解题步骤 10

化简表达式。

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解题步骤 10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 \sec^{2} (x - 1) \tan (x - 1) \cdot 1$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \sec^{2} (x - 1) \tan (x - 1)$

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