微积分学示例

$\frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sin (3 x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\frac{x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) \cdot 3) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.2

将 $3$ 移到 $\cos (3 x)$ 的左侧。

$\frac{x^{2} (3 \cdot \cos (3 x)) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} (3 \cos (3 x)) - \sin (3 x) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 4.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x) x}{x^{4}}$

解题步骤 4.5.2

从 $x^{2} (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.5.2.1

从 $x^{2} (3 \cos (3 x))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (3 \cos (3 x))) - 2 \sin (3 x) x}{x^{4}}$

解题步骤 4.5.2.2

从 $- 2 \sin (3 x) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (3 \cos (3 x))) + x (- 2 \sin (3 x))}{x^{4}}$

解题步骤 4.5.2.3

从 $x (x (3 \cos (3 x))) + x (- 2 \sin (3 x))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x^{4}}$

解题步骤 5

约去公因数。

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解题步骤 5.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 5.3

重写表达式。

$\frac{x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x)}{x^{3}}$

解题步骤 6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x \cos (3 x) - 2 \sin (3 x)}{x^{3}}$

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