微积分学示例

$\sin^{2} (\ln (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (\ln (x))$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (\ln (x))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (\ln (x))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\ln (x)$ 。

$2 \sin (\ln (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$2 \sin (\ln (x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \sin (\ln (x)) (\cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$2 \sin (\ln (x)) \cos (\ln (x)) \frac{1}{x}$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{x} \sin (\ln (x)) \cos (\ln (x))$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $\sin (\ln (x))$ 。

$\frac{2 \sin (\ln (x))}{x} \cos (\ln (x))$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{2 \sin (\ln (x))}{x}$ 和 $\cos (\ln (x))$ 。

$\frac{2 \sin (\ln (x)) \cos (\ln (x))}{x}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

使用正弦倍角公式。

$\frac{\sin (2 \ln (x))}{x}$

解题步骤 5.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x)$ 。

$\frac{\sin (\ln (x^{2}))}{x}$

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