微积分学示例

${\tan (x)}^{\frac{1}{x}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 ${\tan (x)}^{\frac{1}{x}}$ 重写为 $e^{\ln ({\tan (x)}^{\frac{1}{x}})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\tan (x)}^{\frac{1}{x}})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{1}{x}$ 移到对数外来展开 $\ln ({\tan (x)}^{\frac{1}{x}})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (\tan (x))}]$

解题步骤 2

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\ln (\tan (x))$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{\ln (\tan (x))}{x}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{\ln (\tan (x))}{x}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\tan (x))}{x}]$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\tan (x))}{x}]$

解题步骤 3.3

使用 $\frac{\ln (\tan (x))}{x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\tan (x))}{x}]$

解题步骤 4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (\tan (x))$ 且 $g (x) = x$ 。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))] - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\tan (x)$ 。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 9

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 10

使用幂法则求微分。

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解题步骤 10.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x)) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 10.2

合并分数。

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解题步骤 10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

解题步骤 10.2.2

组合 $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ 和 $\frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x))}{x^{2}}$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\cot (x) \sec^{2} (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2

化简分子。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.1.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.1.3

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.1.4

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.1.4.2

约去公因数。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.1.4.3

重写表达式。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.1.5

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \frac{1^{2}}{\sin (x) \cos (x)}) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.1.6

分离分数。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.1.7

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{\cos (x)} \csc (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.1.8

分离分数。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \csc (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.1.9

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{1} \sec (x) \csc (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.1.10

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{1^{2}}{1} e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.1.11

用 $1^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{1^{2} e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.1.12

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.1.13

将 $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.1.14

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

解题步骤 11.2.2

将 $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))$ 中的因式重新排序。

$\frac{x e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \sec (x) \csc (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

解题步骤 11.3

重新排序项。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \csc (x) \sec (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

解题步骤 11.4

从 $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \csc (x) \sec (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))$ 中分解出因数 $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ 。

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解题步骤 11.4.1

将 $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{x e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \csc (x) \sec (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

解题步骤 11.4.2

从 $x e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \csc (x) \sec (x)$ 中分解出因数 $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x)) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

解题步骤 11.4.3

从 $- e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))$ 中分解出因数 $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x)) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

解题步骤 11.4.4

从 $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x)) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))$ 中分解出因数 $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x) - \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

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