微积分学示例

$\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 1 + \sec (x)$ 。

$\frac{(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 + \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 相加。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 4

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 5

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 6

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.1

从 $1 \sec^{2} (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 9.2.1.1

从 $1 \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2

从 $\sec (x) \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x)) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.3

从 $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.4

从 $\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x))$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.5

从 $\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

使用勾股恒等式。

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.3

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sec (x) (\sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.4

运用分配律。

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.5

乘以 $\sec (x) \sec (x)$ 。

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解题步骤 9.2.5.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.5.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.2.6

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.3

从 $\sec^{2} (x) + \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 9.3.1

从 $\sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.3.2

乘以 $1$ 。

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.3.3

从 $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.4

约去 $\sec (x) + 1$ 和 ${(1 + \sec (x))}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.1

重新排序项。

$\frac{\sec (x) (1 + \sec (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.4.2

从 $\sec (x) (1 + \sec (x))$ 中分解出因数 $1 + \sec (x)$ 。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9.4.3

约去公因数。

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解题步骤 9.4.3.1

从 ${(1 + \sec (x))}^{2}$ 中分解出因数 $1 + \sec (x)$ 。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 9.4.3.2

约去公因数。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

解题步骤 9.4.3.3

重写表达式。

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$

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