微积分学示例

$\sin^{2} (x) - \cos (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $\sin^{2} (x) - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 2.1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - - \sin (x)$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) + 1 \sin (x)$

解题步骤 3.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$2 \cos (x) \sin (x) + \sin (x)$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x)$

解题步骤 4.2.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + \sin (x)$

解题步骤 4.2.3

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 x) + \sin (x)$

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