微积分学示例

$e^{- x} \sin (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{- x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

解题步骤 4.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})$

解题步骤 4.3.4

重新排序项。

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

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