微积分学示例

$e^{x} x^{9} + 9 e^{x} x^{8}$

解题步骤 1

根据加法法则， $e^{x} x^{9} + 9 e^{x} x^{8}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{9}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x} x^{9}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{9}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{9}$ 。

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{9}] + x^{9} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$

解题步骤 2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + \frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [9 e^{x} x^{8}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 e^{x} x^{8}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [e^{x} x^{8}]$ 。

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 9 \frac{d}{d x} [e^{x} x^{8}]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{8}$ 。

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 9 (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 9 (e^{x} (8 x^{7}) + x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 3.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 9 (e^{x} (8 x^{7}) + x^{8} e^{x})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 9 (e^{x} (8 x^{7})) + 9 (x^{8} e^{x})$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$e^{x} (9 x^{8}) + x^{9} e^{x} + 72 (e^{x} (x^{7})) + 9 (x^{8} e^{x})$

解题步骤 4.2.2

将 $e^{x} (9 x^{8})$ 和 $9 x^{8} e^{x}$ 相加。

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解题步骤 4.2.2.1

移动 $e^{x}$ 。

$9 x^{8} e^{x} + 9 x^{8} e^{x} + x^{9} e^{x} + 72 e^{x} x^{7}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $9 x^{8} e^{x}$ 和 $9 x^{8} e^{x}$ 相加。

$18 x^{8} e^{x} + x^{9} e^{x} + 72 e^{x} x^{7}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$18 e^{x} x^{8} + e^{x} x^{9} + 72 e^{x} x^{7}$

解题步骤 4.4

将 $18 e^{x} x^{8} + e^{x} x^{9} + 72 e^{x} x^{7}$ 中的因式重新排序。

$18 x^{8} e^{x} + x^{9} e^{x} + 72 x^{7} e^{x}$

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