微积分学示例

$e^{x} - x^{3} \arctan (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $e^{x} - x^{3} \arctan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \arctan (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \arctan (x)]$

解题步骤 2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- x^{3} \arctan (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3} \arctan (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3} \arctan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3} \arctan (x)]$ 。

$e^{x} - \frac{d}{d x} [x^{3} \arctan (x)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \arctan (x)$ 。

$e^{x} - (x^{3} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$e^{x} - (x^{3} \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$e^{x} - (x^{3} \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 3.5

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$e^{x} - (\frac{x^{3}}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 3.6

要将 $\arctan (x) (3 x^{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$e^{x} - (\frac{x^{3}}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (3 x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})$

解题步骤 3.7

在公分母上合并分子。

$e^{x} - \frac{x^{3} + \arctan (x) (3 x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$e^{x} - \frac{x^{3} + \arctan (x) (3 x^{2}) \cdot 1 + \arctan (x) (3 x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $\arctan (x)$ 乘以 $1$ 。

$e^{x} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 4.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$e^{x} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 (x^{2} x^{2}))}{1 + x^{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{x} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{2 + 2})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 4.2.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$e^{x} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{4})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 4.2.3

要将 $e^{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{e^{x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{4})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 4.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x} (1 + x^{2}) - (x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{4}))}{1 + x^{2}}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{e^{x} (1 + x^{2}) - (x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{4}))}{x^{2} + 1}$

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