微积分学示例

$e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ 。

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2] + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$e^{x} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x} (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.7

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$e^{x} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2 + (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2 + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 2$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 4.3.2

从 $e^{x} (2 x)$ 中减去 $2 x e^{x}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

移动 $e^{x}$ 。

$2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 4.3.2.2

从 $2 x e^{x}$ 中减去 $2 x e^{x}$ 。

$0 - 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 4.3.3

从 $0$ 中减去 $2 e^{x}$ 。

$- 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

解题步骤 4.3.4

将 $- 2 e^{x}$ 和 $2 e^{x}$ 相加。

$x^{2} e^{x} + 0$

解题步骤 4.3.5

将 $x^{2} e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} e^{x}$

解题步骤 4.4

重新排序 $x^{2} e^{x}$ 的因式。

$e^{x} x^{2}$

解题步骤 4.5

将 $e^{x} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$x^{2} e^{x}$

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