微积分学示例

$e^{6 x} - \csc (x) \cot (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $e^{6 x} - \csc (x) \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 6 x$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 x$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

解题步骤 2.1.3

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

解题步骤 2.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{6 x} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

解题步骤 2.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$e^{6 x} \cdot 6 + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

解题步骤 2.5

将 $6$ 移到 $e^{6 x}$ 的左侧。

$6 e^{6 x} + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \csc (x) \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\csc (x) \cot (x)]$ 。

$6 e^{6 x} - \frac{d}{d x} [\csc (x) \cot (x)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

$6 e^{6 x} - (\csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 3.3

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$6 e^{6 x} - (\csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 3.4

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$6 e^{6 x} - (\csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 3.5

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 e^{6 x} - (- (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 e^{6 x} - (- {\csc (x)}^{1 + 2} + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 3.7

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 3.8

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)))$

解题步骤 3.9

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)))$

解题步骤 3.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 3.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) \cot^{2} (x))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$6 e^{6 x} - - \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$6 e^{6 x} + 1 \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

解题步骤 4.2.2

将 $\csc^{3} (x)$ 乘以 $1$ 。

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

解题步骤 4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) + 1 (\csc (x) \cot^{2} (x))$

解题步骤 4.2.4

将 $\csc (x)$ 乘以 $1$ 。

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) + \csc (x) \cot^{2} (x)$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\cot^{2} (x) \csc (x) + 6 e^{6 x} + \csc^{3} (x)$

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