微积分学示例

$\ln ({(3 + e^{x})}^{2})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = {(3 + e^{x})}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(3 + e^{x})}^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

解题步骤 1.3

使用 ${(3 + e^{x})}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 + e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 + e^{x}$ 。

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

解题步骤 2.3

使用 $3 + e^{x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (2 (3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ 。

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $3 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

解题步骤 3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

解题步骤 3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 相加。

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) e^{x})$

解题步骤 5

合并分数。

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解题步骤 5.1

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ 。

$\frac{e^{x} \cdot 2}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$

解题步骤 5.2

将 $2$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

重新排序 $\frac{2 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$ 的因式。

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2

约去 $3 + e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 ${(3 + e^{x})}^{2}$ 中分解出因数 $3 + e^{x}$ 。

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{(3 + e^{x}) (3 + e^{x})}$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{(3 + e^{x}) (3 + e^{x})}$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$\frac{2 e^{x}}{3 + e^{x}}$

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