微积分学示例

$\frac{\ln (3 x)}{2 x^{2}}$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{\ln (3 x)}{2 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (3 x)}{x^{2}}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (3 x)}{x^{2}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (3 x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{3 x}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.4

化简项。

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解题步骤 5.4.1

组合 $3$ 和 $\frac{x}{3}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.4.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.4.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 5.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - \ln (3 x) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 5.8

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.8.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

解题步骤 5.8.2

从 $x - 2 \ln (3 x) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

解题步骤 5.8.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

解题步骤 5.8.2.3

从 $- 2 \ln (3 x) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (3 x))}{x^{4}}$

解题步骤 5.8.2.4

从 $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (3 x))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x^{4}}$

解题步骤 6

约去公因数。

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解题步骤 6.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2 \ln (3 x)}{x^{3}}$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1 - 2 \ln (3 x)}{x^{3}}$ 。

$\frac{1 - 2 \ln (3 x)}{2 x^{3}}$

解题步骤 8

化简每一项。

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解题步骤 8.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (3 x)$ 。

$\frac{1 - \ln ({(3 x)}^{2})}{2 x^{3}}$

解题步骤 8.2

对 $3 x$ 运用乘积法则。

$\frac{1 - \ln (3^{2} x^{2})}{2 x^{3}}$

解题步骤 8.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1 - \ln (9 x^{2})}{2 x^{3}}$

微积分学 示例

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