微积分学示例

$\ln ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 8 x^{3} - 3 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $8 x^{3} - 3 x$ 。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

解题步骤 2.3

使用 $8 x^{3} - 3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

解题步骤 9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

解题步骤 11

通过指数相加将 ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.1

移动 ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

解题步骤 11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

解题步骤 11.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

解题步骤 11.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

解题步骤 11.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

解题步骤 12

化简 $2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}$ 。

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

解题步骤 13

根据加法法则， $8 x^{3} - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 14

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 16

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 17

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \cdot 1)$

解题步骤 19

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

运用分配律。

$\frac{1}{2 (8 x^{3}) + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

解题步骤 20.2

合并项。

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解题步骤 20.2.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{16 x^{3} + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

解题步骤 20.2.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$

解题步骤 20.3

重新排序 $\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$ 的因式。

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{16 x^{3} - 6 x}$

解题步骤 20.4

从 $16 x^{3} - 6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 20.4.1

从 $16 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) - 6 x}$

解题步骤 20.4.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)}$

解题步骤 20.4.3

从 $2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

解题步骤 20.5

将 $24 x^{2} - 3$ 乘以 $\frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$ 。

$\frac{24 x^{2} - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

解题步骤 20.6

从 $24 x^{2} - 3$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 20.6.1

从 $24 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (8 x^{2}) - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

解题步骤 20.6.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

解题步骤 20.6.3

从 $3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (8 x^{2} - 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

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