微积分学示例

$\frac{\ln (x)}{\ln (x + 1)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \ln (x + 1)$ 。

$\frac{\ln (x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 3

组合 $\ln (x + 1)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4

将 $\frac{\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

合并。

$\frac{x (\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{x \frac{\ln (x + 1)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 5.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{\ln (x + 1)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]))}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 6.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 6.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{x + 1}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \frac{\ln (x)}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 7.2

组合 $x$ 和 $\frac{\ln (x)}{x + 1}$ 。

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 7.3

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 7.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} (1 + 0)}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 7.6

化简表达式。

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解题步骤 7.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} \cdot 1}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 7.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 8

要将 $\ln (x + 1)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{\frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} - \frac{x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 10

将 $\frac{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1} \cdot \frac{1}{x \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 11

将 $\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1}$ 乘以 $\frac{1}{x \ln^{2} (x + 1)}$ 。

$\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{(x + 1) (x \ln^{2} (x + 1))}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

运用分配律。

$\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 12.2

化简分子。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

运用分配律。

$\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1 - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 12.2.1.2

将 $\ln (x + 1)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 12.2.2

将 $\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) - x \ln (x)$ 中的因式重新排序。

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 12.3

合并项。

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解题步骤 12.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{1} x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 12.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{1} x^{1} + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 12.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{1 + 1} + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 12.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{2} + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 12.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{2} + x) \ln^{2} (x + 1)}$

解题步骤 12.4

重新排序项。

$\frac{x \ln (x + 1) - x \ln (x) + \ln (x + 1)}{\ln^{2} (x + 1) (x^{2} + x)}$

微积分学 示例

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