微积分学示例

$\frac{\ln (x)}{\ln (x) + 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \ln (x) + 1$ 。

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

根据加法法则， $\ln (x) + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1])}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{1}{x} + 0)}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 6

要将 $(\ln (x) + 1) \frac{1}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 7

组合 $(\ln (x) + 1) \frac{1}{x}$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} x}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} x - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 9

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{x}{x} - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 10

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 10.1

约去公因数。

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{x}{x} - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 10.2

重写表达式。

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \cdot 1 - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 11

将 $\ln (x) + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{\ln (x) + 1 - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 12

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\frac{\ln (\frac{x}{x}) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 13

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 13.1

约去公因数。

$\frac{\frac{\ln (\frac{x}{x}) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 13.2

重写表达式。

$\frac{\frac{\ln (1) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 14

将 $\frac{\frac{\ln (1) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{\ln (1) + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 15

将 $\frac{\ln (1) + 1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{\ln (1) + 1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 16

化简分子。

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解题步骤 16.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0 + 1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$

解题步骤 16.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$

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