微积分学示例

$\sqrt[3]{\sin (4 x)}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{\sin (4 x)}$ 重写成 ${\sin (4 x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{\sin (4 x)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = \sin (4 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (4 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

解题步骤 2.3

使用 $\sin (4 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{3} {\sin (4 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {\sin (4 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {\sin (4 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} {\sin (4 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

解题步骤 6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} {\sin (4 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} {\sin (4 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

解题步骤 7

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} {\sin (4 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${\sin (4 x)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{{\sin (4 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${\sin (4 x)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3 {\sin (4 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

解题步骤 8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{1}{3 {\sin (4 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 8.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{3 {\sin (4 x)}^{\frac{2}{3}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 8.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{3 {\sin (4 x)}^{\frac{2}{3}}} (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 9

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

组合 $\cos (4 x)$ 和 $\frac{1}{3 {\sin (4 x)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{\cos (4 x)}{3 {\sin (4 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 9.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\cos (4 x)}{3 {\sin (4 x)}^{\frac{2}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9.3

组合 $4$ 和 $\frac{\cos (4 x)}{3 {\sin (4 x)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4 \cos (4 x)}{3 {\sin (4 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 9.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4 \cos (4 x)}{3 {\sin (4 x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

解题步骤 9.5

将 $\frac{4 \cos (4 x)}{3 {\sin (4 x)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 \cos (4 x)}{3 {\sin (4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

微积分学 示例

微积分学示例