微积分学示例

$x^{\frac{1}{7}} (x + 8)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{7}}$ 且 $g (x) = x + 8$ 。

$x^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x + 8] + (x + 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$x^{\frac{1}{7}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) + (x + 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{1}{7}} (1 + \frac{d}{d x} [8]) + (x + 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

解题步骤 2.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{1}{7}} (1 + 0) + (x + 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{1}{7}} \cdot 1 + (x + 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

解题步骤 2.4.2

将 $x^{\frac{1}{7}}$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{7}$ 。

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1})$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}})$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 7}{7}})$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $7$ 。

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) (\frac{1}{7} x^{\frac{- 6}{7}})$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) (\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}})$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $x^{- \frac{6}{7}}$ 。

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) \frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7}$

解题步骤 9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{6}{7}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{1}{7}} + (x + 8) \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$x^{\frac{1}{7}} + x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 8 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 10.2

合并项。

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解题步骤 10.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$ 。

$x^{\frac{1}{7}} + \frac{x}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 8 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 10.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{6}{7}}$ 移动到分子。

$x^{\frac{1}{7}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{6}{7}}}{7} + 8 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 10.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{6}{7}}$ 。

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解题步骤 10.2.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{6}{7}}$ 。

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解题步骤 10.2.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{6}{7}}}{7} + 8 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 10.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{1 - \frac{6}{7}}}{7} + 8 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 10.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{7}{7} - \frac{6}{7}}}{7} + 8 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 10.2.3.3

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{7 - 6}{7}}}{7} + 8 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 10.2.3.4

从 $7$ 中减去 $6$ 。

$x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{1}{7}}}{7} + 8 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 10.2.4

组合 $8$ 和 $\frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$ 。

$x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 10.2.5

要将 $x^{\frac{1}{7}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$x^{\frac{1}{7}} \cdot \frac{7}{7} + \frac{x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 10.2.6

组合 $x^{\frac{1}{7}}$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{7}} \cdot 7}{7} + \frac{x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 10.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{7}} \cdot 7 + x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 10.2.8

将 $7$ 移到 $x^{\frac{1}{7}}$ 的左侧。

$\frac{7 \cdot x^{\frac{1}{7}} + x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

解题步骤 10.2.9

将 $7 x^{\frac{1}{7}}$ 和 $x^{\frac{1}{7}}$ 相加。

$\frac{8 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

微积分学 示例

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