微积分学示例

$\frac{x}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.3

将 ${(x - 1)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 3.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2} - x (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2} - 2 x ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 4.2

从 ${(x - 1)}^{2} - 2 x ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

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解题步骤 4.2.1

从 ${(x - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\frac{(x - 1) (x - 1) - 2 x ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 4.2.2

从 $- 2 x ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\frac{(x - 1) (x - 1) + (x - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 4.2.3

从 $(x - 1) (x - 1) + (x - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\frac{(x - 1) (x - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 5

约去公因数。

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解题步骤 5.1

从 ${(x - 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\frac{(x - 1) (x - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

$\frac{(x - 1) (x - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 5.3

重写表达式。

$\frac{x - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 6

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{x - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x - 1 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x - 1 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 9

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 9.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x - 1 - 2 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 1 - 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 9.3

从 $x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{- x - 1}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x) - 1}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 10.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- (x) - 1 (1)}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 10.3

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 10.4

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$\frac{- 1 (x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 10.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{3}}$

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