微积分学示例

$2 \cos (x) \sin (2 x) - \sin (x) \cos (2 x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $2 \cos (x) \sin (2 x) - \sin (x) \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x) \sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x) \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (2 x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (2 x)$ 。

$2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$2 (\cos (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

解题步骤 2.3.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$2 (\cos (x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

解题步骤 2.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

解题步骤 2.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

解题步骤 2.6

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

解题步骤 2.8

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$2 (\cos (x) (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

解题步骤 2.9

将 $2$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x) \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (2 x)]$ 。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (2 x)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (2 x)$ 。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.3.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3.6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \cos (x))$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) \cdot 2) + \cos (2 x) \cos (x))$

解题步骤 3.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cos (x))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x)) + 2 (\sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cos (x))$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x)) + 2 (\sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x))) - (\cos (2 x) \cos (x))$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 (\cos (x) \cos (2 x)) + 2 (\sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x))) - (\cos (2 x) \cos (x))$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 \cos (x) \cos (2 x) - 2 (\sin (2 x) (\sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x))) - (\cos (2 x) \cos (x))$

解题步骤 4.3.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \cos (x) \cos (2 x) - 2 \sin (2 x) \sin (x) + 2 (\sin (x) (\sin (2 x))) - (\cos (2 x) \cos (x))$

解题步骤 4.3.4

重新排序 $- 2 \sin (2 x) \sin (x)$ 的因式。

$4 \cos (x) \cos (2 x) - 2 \sin (x) \sin (2 x) + 2 \sin (x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \cos (x)$

解题步骤 4.3.5

将 $- 2 \sin (x) \sin (2 x)$ 和 $2 \sin (x) \sin (2 x)$ 相加。

$4 \cos (x) \cos (2 x) + 0 - \cos (2 x) \cos (x)$

解题步骤 4.3.6

将 $4 \cos (x) \cos (2 x)$ 和 $0$ 相加。

$4 \cos (x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \cos (x)$

解题步骤 4.3.7

重新排序 $- \cos (2 x) \cos (x)$ 的因式。

$4 \cos (x) \cos (2 x) - \cos (x) \cos (2 x)$

解题步骤 4.3.8

从 $4 \cos (x) \cos (2 x)$ 中减去 $\cos (x) \cos (2 x)$ 。

$3 \cos (x) \cos (2 x)$

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