微积分学示例

$2 x {(4 - x)}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(4 - x)}^{2}$ 重写为 $(4 - x) (4 - x)$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x ((4 - x) (4 - x))]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(4 - x) (4 - x)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [2 x (4 (4 - x) - x (4 - x))]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [2 x (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x))]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [2 x (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

解题步骤 3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x))]$

解题步骤 3.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - x (- x))]$

解题步骤 3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

解题步骤 3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

解题步骤 3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

解题步骤 3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2})]$

解题步骤 3.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x + x^{2})]$

解题步骤 3.2

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 8 x + x^{2})]$

解题步骤 4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x (16 - 8 x + x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x (16 - 8 x + x^{2})]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x (16 - 8 x + x^{2})]$

解题步骤 5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 16 - 8 x + x^{2}$ 。

$2 (x \frac{d}{d x} [16 - 8 x + x^{2}] + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $16 - 8 x + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 (x (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.2

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 相加。

$2 (x (\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.4

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (x (- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x (- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.6

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$2 (x (- 8 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x (- 8 + 2 x) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x (- 8 + 2 x) + (16 - 8 x + x^{2}) \cdot 1)$

解题步骤 6.9

将 $16 - 8 x + x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 (x (- 8 + 2 x) + 16 - 8 x + x^{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$2 (x \cdot - 8 + x (2 x) + 16 - 8 x + x^{2})$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$2 (x \cdot - 8) + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

解题步骤 7.3

合并项。

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解题步骤 7.3.1

将 $- 8$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 (- 8 \cdot x) + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

解题步骤 7.3.2

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$- 16 x + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

解题步骤 7.3.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 16 x + 2 (2 (x^{1} x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

解题步骤 7.3.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 16 x + 2 (2 (x^{1} x^{1})) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

解题步骤 7.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 16 x + 2 (2 x^{1 + 1}) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

解题步骤 7.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 16 x + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

解题步骤 7.3.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 16 x + 4 x^{2} + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

解题步骤 7.3.8

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$- 16 x + 4 x^{2} + 32 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

解题步骤 7.3.9

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$- 16 x + 4 x^{2} + 32 - 16 x + 2 x^{2}$

解题步骤 7.3.10

从 $- 16 x$ 中减去 $16 x$ 。

$- 32 x + 4 x^{2} + 32 + 2 x^{2}$

解题步骤 7.3.11

将 $4 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$- 32 x + 6 x^{2} + 32$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$6 x^{2} - 32 x + 32$

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