微积分学示例

$2 x {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x {(x - 4)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ 。

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 4$ 。

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $x - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

解题步骤 4.6

将 ${(x - 4)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 5.3

从 $6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ 中分解出因数 $2 {(x - 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $6 x {(x - 4)}^{2}$ 中分解出因数 $2 {(x - 4)}^{2}$ 。

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 5.3.2

从 $2 {(x - 4)}^{3}$ 中分解出因数 $2 {(x - 4)}^{2}$ 。

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

解题步骤 5.3.3

从 $2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ 中分解出因数 $2 {(x - 4)}^{2}$ 。

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

解题步骤 5.4

将 $3 x$ 和 $x$ 相加。

$2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

解题步骤 5.5

将 ${(x - 4)}^{2}$ 重写为 $(x - 4) (x - 4)$ 。

$2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

解题步骤 5.6

使用 FOIL 方法展开 $(x - 4) (x - 4)$ 。

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解题步骤 5.6.1

运用分配律。

$2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

解题步骤 5.6.2

运用分配律。

$2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

解题步骤 5.6.3

运用分配律。

$2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

解题步骤 5.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.7.1

化简每一项。

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解题步骤 5.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

解题步骤 5.7.1.2

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

解题步骤 5.7.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

解题步骤 5.7.2

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

解题步骤 5.8

运用分配律。

$(2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

解题步骤 5.9

化简。

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解题步骤 5.9.1

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$(2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

解题步骤 5.9.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

解题步骤 5.10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ 。

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

解题步骤 5.11

化简每一项。

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解题步骤 5.11.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot 4 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

解题步骤 5.11.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.11.2.1

移动 $x$ 。

$2 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

解题步骤 5.11.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.11.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

解题步骤 5.11.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cdot 4 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

解题步骤 5.11.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

解题步骤 5.11.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

解题步骤 5.11.4

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

解题步骤 5.11.5

使用乘法的交换性质重写。

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 x \cdot x - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

解题步骤 5.11.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.11.6.1

移动 $x$ 。

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 (x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

解题步骤 5.11.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

解题步骤 5.11.7

将 $- 16$ 乘以 $4$ 。

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

解题步骤 5.11.8

将 $- 4$ 乘以 $- 16$ 。

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

解题步骤 5.11.9

将 $4$ 乘以 $32$ 。

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

解题步骤 5.11.10

将 $32$ 乘以 $- 4$ 。

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

解题步骤 5.12

从 $- 8 x^{2}$ 中减去 $64 x^{2}$ 。

$8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

解题步骤 5.13

将 $64 x$ 和 $128 x$ 相加。

$8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$

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