微积分学示例

$24 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3}}]$ 。

$24 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} + x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + x$ 。

$24 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$24 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} + x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

解题步骤 6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

解题步骤 8

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$24 (\frac{2 {(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

解题步骤 9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$24 (\frac{2}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

解题步骤 10

组合 $\frac{2}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $24$ 。

$\frac{2 \cdot 24}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

解题步骤 11

将 $2$ 乘以 $24$ 。

$\frac{48}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

解题步骤 12

从 $48$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 16}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

解题步骤 13

约去公因数。

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解题步骤 13.1

从 $3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 16}{3 ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 16}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

解题步骤 14

根据加法法则， $x^{2} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 1)$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

重新排序 $\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 1)$ 的因式。

$(2 x + 1) \frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 17.2

将 $2 x + 1$ 乘以 $\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{(2 x + 1) \cdot 16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 17.3

将 $16$ 移到 $2 x + 1$ 的左侧。

$\frac{16 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

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