微积分学示例

$2 \arccos (\sqrt{x})$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \arccos (x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \arccos (x^{\frac{1}{2}})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{\frac{1}{2}})]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arccos (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.2

$\arccos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{1}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4

化简。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 5

合并分数。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 (\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - x}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 13

将 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{\sqrt{1 - x}}$ 。

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \sqrt{1 - x}}$

解题步骤 14

化简表达式。

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解题步骤 14.1

将 $2$ 移到 $x^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$- \frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 \sqrt{1 - x}}$

解题步骤 14.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{2}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15

约去公因数。

$- \frac{2}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16

重写表达式。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}}$

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