微积分学示例

$2 x^{2} - 8 \sqrt{x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $2 x^{2} - 8 \sqrt{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$4 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 3.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$4 x - 8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.10

组合 $- 8$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$4 x + \frac{- 8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$4 x + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.12

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 x + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.13

约去公因数。

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解题步骤 3.13.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 x + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 3.13.2

约去公因数。

$4 x + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.13.3

重写表达式。

$4 x + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.14

将负号移到分数的前面。

$4 x - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

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