微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x - 4}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

将 $\frac{1}{x - 4}$ 重写为 ${(x - 4)}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 4$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(x - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$- {(x - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + 0)$

解题步骤 1.1.3.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- {(x - 4)}^{- 2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- {(x - 4)}^{- 2}$

解题步骤 1.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ 。

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 4.2.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = \frac{1}{x - 4}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ 。

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 4)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = - \frac{1}{{((3) - 4)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$f' (3) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

解题步骤 6.2.2

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

约去 $1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.1

约去公因数。

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

解题步骤 6.2.2.1.2

重写表达式。

$f' (3) = - 1 \cdot 1$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (3) = - 1$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 6.3

在 $x = 3$ 处，导数为 $- 1$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 4)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 4)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(4, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (5) = - \frac{1}{{((5) - 4)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$f' (5) = - \frac{1}{1^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

解题步骤 7.2.2

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

约去 $1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1.1

约去公因数。

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

解题步骤 7.2.2.1.2

重写表达式。

$f' (5) = - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (5) = - 1$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 7.3

在 $x = 5$ 处，导数为 $- 1$ 。由于其值为负，函数在 $(4, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(4, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递减于： $(- \infty, 4), (4, \infty)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例