微积分学示例

$- 4 x^{\frac{5}{3}} + 3 x^{\frac{7}{3}} + 8$

解题步骤 1

根据加法法则， $- 4 x^{\frac{5}{3}} + 3 x^{\frac{7}{3}} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{\frac{5}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{3}$ 。

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 2.6.2

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 2.7

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$- 4 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 2.8

组合 $- 4$ 和 $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{- 4 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 2.9

将 $5$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 2.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{\frac{7}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}]$ 。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{7}{3}$ 。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.6.2

从 $7$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.7

组合 $\frac{7}{3}$ 和 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.8

组合 $3$ 和 $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$ 。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{3 (7 x^{\frac{4}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.9

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{21 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.10

从 $21 x^{\frac{4}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{3 (7 x^{\frac{4}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.11

约去公因数。

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解题步骤 3.11.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{3 (7 x^{\frac{4}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.11.2

约去公因数。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{3 (7 x^{\frac{4}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.11.3

重写表达式。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.11.4

用 $7 x^{\frac{4}{3}}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 7 x^{\frac{4}{3}} + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 4

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 7 x^{\frac{4}{3}} + 0$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 7 x^{\frac{4}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 7 x^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

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