微积分学示例

$36 x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}$

解题步骤 1

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36 x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $36 \frac{d}{d x} [x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}]$ 。

$36 \frac{d}{d x} [x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = {(3 x^{4} + 7)}^{2}$ 。

$36 (x^{3} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 7)}^{2}] + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 x^{4} + 7$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{4} + 7$ 。

$36 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 7]) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$36 (x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 7]) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3

使用 $3 x^{4} + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 7]) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $3 x^{4} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.5

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (12 x^{3} + 0)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $12 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (12 x^{3})) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4.6.2

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$36 (x^{3} (24 (3 x^{4} + 7) x^{3}) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.1

移动 $x^{3}$ 。

$36 (x^{3} x^{3} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$36 (x^{3 + 3} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} (3 x^{2}))$

解题步骤 7

将 $3$ 移到 ${(3 x^{4} + 7)}^{2}$ 的左侧。

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4} + 7)) + 3 \cdot {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4}) + 24 \cdot 7) + 3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4})) + x^{6} (24 \cdot 7) + 3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4}))) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

解题步骤 8.4

合并项。

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解题步骤 8.4.1

将 $3$ 乘以 $24$ 。

$36 (x^{6} (72 x^{4})) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

解题步骤 8.4.2

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 8.4.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$36 (x^{4} x^{6} \cdot 72) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

解题步骤 8.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$36 (x^{4 + 6} \cdot 72) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

解题步骤 8.4.2.3

将 $4$ 和 $6$ 相加。

$36 (x^{10} \cdot 72) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

解题步骤 8.4.3

将 $72$ 移到 $x^{10}$ 的左侧。

$36 (72 \cdot x^{10}) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

解题步骤 8.4.4

将 $72$ 乘以 $36$ 。

$2592 x^{10} + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

解题步骤 8.4.5

将 $24$ 乘以 $7$ 。

$2592 x^{10} + 36 (x^{6} \cdot 168) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

解题步骤 8.4.6

将 $168$ 移到 $x^{6}$ 的左侧。

$2592 x^{10} + 36 (168 \cdot x^{6}) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

解题步骤 8.4.7

将 $168$ 乘以 $36$ 。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

解题步骤 8.4.8

将 $3$ 乘以 $36$ 。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2}$

解题步骤 8.5

重新排序项。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} {(3 x^{4} + 7)}^{2}$

解题步骤 8.6

化简每一项。

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解题步骤 8.6.1

将 ${(3 x^{4} + 7)}^{2}$ 重写为 $(3 x^{4} + 7) (3 x^{4} + 7)$ 。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} ((3 x^{4} + 7) (3 x^{4} + 7))$

解题步骤 8.6.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 x^{4} + 7) (3 x^{4} + 7)$ 。

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解题步骤 8.6.2.1

运用分配律。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 x^{4} (3 x^{4} + 7) + 7 (3 x^{4} + 7))$

解题步骤 8.6.2.2

运用分配律。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 x^{4} (3 x^{4}) + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4} + 7))$

解题步骤 8.6.2.3

运用分配律。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 x^{4} (3 x^{4}) + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

解题步骤 8.6.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.6.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 x^{4} x^{4} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

解题步骤 8.6.3.1.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 8.6.3.1.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 (x^{4} x^{4}) + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

解题步骤 8.6.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 x^{4 + 4} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

解题步骤 8.6.3.1.2.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 x^{8} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

解题步骤 8.6.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

解题步骤 8.6.3.1.4

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 21 x^{4} + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

解题步骤 8.6.3.1.5

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 21 x^{4} + 21 x^{4} + 7 \cdot 7)$

解题步骤 8.6.3.1.6

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 21 x^{4} + 21 x^{4} + 49)$

解题步骤 8.6.3.2

将 $21 x^{4}$ 和 $21 x^{4}$ 相加。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 42 x^{4} + 49)$

解题步骤 8.6.4

运用分配律。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8}) + 108 x^{2} (42 x^{4}) + 108 x^{2} \cdot 49$

解题步骤 8.6.5

化简。

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解题步骤 8.6.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{2} x^{8} + 108 x^{2} (42 x^{4}) + 108 x^{2} \cdot 49$

解题步骤 8.6.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{2} x^{8} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 108 x^{2} \cdot 49$

解题步骤 8.6.5.3

将 $49$ 乘以 $108$ 。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{2} x^{8} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

解题步骤 8.6.6

化简每一项。

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解题步骤 8.6.6.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{8}$ 。

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解题步骤 8.6.6.1.1

移动 $x^{8}$ 。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 (x^{8} x^{2}) + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

解题步骤 8.6.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{8 + 2} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

解题步骤 8.6.6.1.3

将 $8$ 和 $2$ 相加。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

解题步骤 8.6.6.2

将 $108$ 乘以 $9$ 。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

解题步骤 8.6.6.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 8.6.6.3.1

移动 $x^{4}$ 。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 (x^{4} x^{2}) + 5292 x^{2}$

解题步骤 8.6.6.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{4 + 2} + 5292 x^{2}$

解题步骤 8.6.6.3.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{6} + 5292 x^{2}$

解题步骤 8.6.6.4

将 $108$ 乘以 $42$ 。

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 4536 x^{6} + 5292 x^{2}$

解题步骤 8.7

将 $2592 x^{10}$ 和 $972 x^{10}$ 相加。

$3564 x^{10} + 6048 x^{6} + 4536 x^{6} + 5292 x^{2}$

解题步骤 8.8

将 $6048 x^{6}$ 和 $4536 x^{6}$ 相加。

$3564 x^{10} + 10584 x^{6} + 5292 x^{2}$

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