微积分学示例

$3 x \arctan (5 x)$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x \arctan (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x \arctan (5 x)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x \arctan (5 x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \arctan (5 x)$ 。

$3 (x \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x$ 。

$3 (x (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$3 (x (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (x (\frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$3 (x (\frac{1}{1 + {(5 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $5 (x)$ 运用乘积法则。

$3 (x (\frac{1}{1 + 5^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 (x (\frac{1}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2.2

组合 $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ 和 $x$ 。

$3 (\frac{x}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 (\frac{x}{1 + 25 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

组合 $5$ 和 $\frac{x}{1 + 25 x^{2}}$ 。

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6

将 $\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x) \cdot 1)$

解题步骤 4.8

将 $\arctan (5 x)$ 乘以 $1$ 。

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x))$

解题步骤 5

要将 $\arctan (5 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + 25 x^{2}}{1 + 25 x^{2}}$ 。

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \frac{\arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}})$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$3 \frac{5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$

解题步骤 7

组合 $3$ 和 $\frac{5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$ 。

$\frac{3 (5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{3 (5 x + \arctan (5 x) \cdot 1 + \arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{3 (5 x) + 3 (\arctan (5 x) \cdot 1) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15 x + 3 (\arctan (5 x) \cdot 1) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2

将 $\arctan (5 x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 3 (25 \arctan (5 x) x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.4

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 \arctan (5 x) x^{2}}{1 + 25 x^{2}}$

解题步骤 8.3.2

将 $15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 \arctan (5 x) x^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 x^{2} \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$

解题步骤 8.4

重新排序项。

$\frac{75 x^{2} \arctan (5 x) + 15 x + 3 \arctan (5 x)}{25 x^{2} + 1}$

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