微积分学示例

$5 \log ({(2)}^{x + 10})$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \log (2^{x + 10})$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\log (2^{x + 10})]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\log (2^{x + 10})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log (x)$ 且 $g (x) = 2^{x + 10}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2^{x + 10}$ 。

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [2^{x + 10}])$

解题步骤 2.2

$\log (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ 。

$5 (\frac{1}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [2^{x + 10}])$

解题步骤 3

组合 $\frac{1}{2^{x + 10} \ln (10)}$ 和 $5$ 。

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [2^{x + 10}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 2^{x}$ 且 $g (x) = x + 10$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 10$ 。

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [2^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x + 10])$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (2^{u_{2}} \ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

解题步骤 4.3

使用 $x + 10$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (2^{x + 10} \ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

组合 $2^{x + 10}$ 和 $\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)}$ 。

$\frac{2^{x + 10} \cdot 5}{2^{x + 10} \ln (10)} (\ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

解题步骤 5.2

化简项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $\ln (2)$ 和 $\frac{2^{x + 10} \cdot 5}{2^{x + 10} \ln (10)}$ 。

$\frac{\ln (2) (2^{x + 10} \cdot 5)}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

解题步骤 5.2.2

重新排序。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $5$ 移到 $2^{x + 10}$ 的左侧。

$\frac{\ln (2) (5 \cdot 2^{x + 10})}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

解题步骤 5.2.2.2

将 $5$ 移到 $\ln (2)$ 的左侧。

$\frac{5 \cdot \ln (2) \cdot 2^{x + 10}}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

解题步骤 5.2.3

约去 $2^{x + 10}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

约去公因数。

$\frac{5 \ln (2) \cdot 2^{x + 10}}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

解题步骤 5.2.3.2

重写表达式。

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

解题步骤 5.3

根据加法法则， $x + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (1 + \frac{d}{d x} [10])$

解题步骤 5.5

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (1 + 0)$

解题步骤 5.6

化简表达式。

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解题步骤 5.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} \cdot 1$

解题步骤 5.6.2

将 $\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (2)$ 。

$\frac{\ln (2^{5})}{\ln (10)}$

解题步骤 6.2

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{\ln (32)}{\ln (10)}$

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