微积分学示例

$4 x \sqrt{64 - x^{2}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{64 - x^{2}}$ 重写成 ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 (x \frac{d}{d x} [{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 64 - x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $64 - x^{2}$ 。

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $64 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$4 (x (\frac{{(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$4 (x (\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9

根据加法法则， $64 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 10

因为 $64$ 对于 $x$ 是常数，所以 $64$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 14

合并分数。

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解题步骤 14.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 14.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$4 (\frac{- 2 x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 14.3

组合 $\frac{- 2 x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$4 (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 19

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 20

约去公因数。

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解题步骤 20.1

从 $2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 20.2

约去公因数。

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 20.3

重写表达式。

$4 (\frac{- x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 21

将负号移到分数的前面。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 22

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 23

将 ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 24

要将 ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$4 (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 25

在公分母上合并分子。

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26

通过指数相加将 ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 26.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.2

在公分母上合并分子。

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{1}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 27

化简 ${(64 - x^{2})}^{1}$ 。

$4 \frac{- x^{2} + 64 - x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$4 \frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 29

组合 $4$ 和 $\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{4 (- 2 x^{2} + 64)}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 30

化简。

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解题步骤 30.1

运用分配律。

$\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 \cdot 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 30.2

化简每一项。

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解题步骤 30.2.1

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 8 x^{2} + 4 \cdot 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 30.2.2

将 $4$ 乘以 $64$ 。

$\frac{- 8 x^{2} + 256}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 30.3

重新排序项。

$\frac{- 8 x^{2} + 256}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 30.4

从 $- 8 x^{2} + 256$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 30.4.1

从 $- 8 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x^{2}) + 256}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 30.4.2

从 $256$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 (32)}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 30.4.3

从 $8 (- x^{2}) + 8 (32)$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x^{2} + 32)}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 30.5

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x^{2}) + 32)}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 30.6

将 $32$ 重写为 $- 1 (- 32)$ 。

$\frac{8 (- (x^{2}) - 1 (- 32))}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 30.7

从 $- (x^{2}) - 1 (- 32)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x^{2} - 32))}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 30.8

将 $- (x^{2} - 32)$ 重写为 $- 1 (x^{2} - 32)$ 。

$\frac{8 (- 1 (x^{2} - 32))}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 30.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8 (x^{2} - 32)}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

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