微积分学示例

$4 \sinh (4 x) + 6 \cosh (4 x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $4 \sinh (4 x) + 6 \cosh (4 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 \sinh (4 x)] + \frac{d}{d x} [6 \cosh (4 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 \sinh (4 x)] + \frac{d}{d x} [6 \cosh (4 x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [4 \sinh (4 x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sinh (4 x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sinh (4 x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\sinh (4 x)] + \frac{d}{d x} [6 \cosh (4 x)]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sinh (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x$ 。

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\sinh (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [6 \cosh (4 x)]$

解题步骤 2.2.2

$\sinh (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cosh (u_{1})$ 。

$4 (\cosh (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [6 \cosh (4 x)]$

解题步骤 2.2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 (\cosh (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [6 \cosh (4 x)]$

解题步骤 2.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 (\cosh (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [6 \cosh (4 x)]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (\cosh (4 x) (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [6 \cosh (4 x)]$

解题步骤 2.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 (\cosh (4 x) \cdot 4) + \frac{d}{d x} [6 \cosh (4 x)]$

解题步骤 2.6

将 $4$ 移到 $\cosh (4 x)$ 的左侧。

$4 (4 \cdot \cosh (4 x)) + \frac{d}{d x} [6 \cosh (4 x)]$

解题步骤 2.7

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$16 \cosh (4 x) + \frac{d}{d x} [6 \cosh (4 x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [6 \cosh (4 x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \cosh (4 x)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\cosh (4 x)]$ 。

$16 \cosh (4 x) + 6 \frac{d}{d x} [\cosh (4 x)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cosh (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$16 \cosh (4 x) + 6 (\frac{d}{d u_{2}} [\cosh (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.2.2

$\cosh (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sinh (u_{2})$ 。

$16 \cosh (4 x) + 6 (\sinh (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$16 \cosh (4 x) + 6 (\sinh (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$16 \cosh (4 x) + 6 (\sinh (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$16 \cosh (4 x) + 6 (\sinh (4 x) (4 \cdot 1))$

解题步骤 3.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$16 \cosh (4 x) + 6 (\sinh (4 x) \cdot 4)$

解题步骤 3.6

将 $4$ 移到 $\sinh (4 x)$ 的左侧。

$16 \cosh (4 x) + 6 (4 \cdot \sinh (4 x))$

解题步骤 3.7

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$16 \cosh (4 x) + 24 \sinh (4 x)$

解题步骤 4

重新排序项。

$24 \sinh (4 x) + 16 \cosh (4 x)$

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