微积分学示例

$5 \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \cos (x) \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \cot (x)]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \cot (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$5 (\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$5 (\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$5 (\cos (x) (- \csc^{2} (x))) + 5 (\cot (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 (\cos (x) (\csc^{2} (x))) + 5 (\cot (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 5.2.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 \cos (x) \csc^{2} (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$- 5 \csc^{2} (x) \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

解题步骤 5.4

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 5 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

解题步骤 5.4.2

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$- 5 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

解题步骤 5.4.3

一的任意次幂都为一。

$- 5 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

解题步骤 5.4.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{- 5}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

解题步骤 5.4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

解题步骤 5.4.6

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{5}{\sin^{2} (x)}$ 。

$- \frac{\cos (x) \cdot 5}{\sin^{2} (x)} - 5 \cot (x) \sin (x)$

解题步骤 5.4.7

将 $5$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$- \frac{5 \cdot \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - 5 \cot (x) \sin (x)$

解题步骤 5.4.8

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 5.4.8.1

添加圆括号。

$- \frac{5 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - 5 (\cot (x) \sin (x))$

解题步骤 5.4.8.2

将 $- 5 \cot (x) \sin (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{5 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - 5 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

解题步骤 5.4.8.3

约去公因数。

$- \frac{5 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - 5 \cos (x)$

解题步骤 5.5

化简每一项。

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解题步骤 5.5.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$- \frac{5 \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - 5 \cos (x)$

解题步骤 5.5.2

分离分数。

$- (\frac{5}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - 5 \cos (x)$

解题步骤 5.5.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$- (\frac{5}{\sin (x)} \cot (x)) - 5 \cos (x)$

解题步骤 5.5.4

分离分数。

$- (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)) - 5 \cos (x)$

解题步骤 5.5.5

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$- (\frac{5}{1} \csc (x) \cot (x)) - 5 \cos (x)$

解题步骤 5.5.6

用 $5$ 除以 $1$ 。

$- (5 \csc (x) \cot (x)) - 5 \cos (x)$

解题步骤 5.5.7

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 \csc (x) \cot (x) - 5 \cos (x)$

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