微积分学示例

$5 \arcsin (x^{3})$

解题步骤 1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \arcsin (x^{3})$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\arcsin (x^{3})]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\arcsin (x^{3})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.2

$\arcsin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$5 (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{3})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{3 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$5 (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{6}}}$ 和 $5$ 。

$\frac{5}{\sqrt{1 - x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{5}{\sqrt{1 - x^{6}}} (3 x^{2})$

解题步骤 3.4

合并分数。

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解题步骤 3.4.1

组合 $3$ 和 $\frac{5}{\sqrt{1 - x^{6}}}$ 。

$\frac{3 \cdot 5}{\sqrt{1 - x^{6}}} x^{2}$

解题步骤 3.4.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{15}{\sqrt{1 - x^{6}}} x^{2}$

解题步骤 3.4.3

组合 $\frac{15}{\sqrt{1 - x^{6}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{15 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{6}}}$

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