微积分学示例

$10000 - 2500 x + 3750 \sqrt{16 + x^{2}}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $10000 - 2500 x + 3750 \sqrt{16 + x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10000] + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [10000] + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

解题步骤 1.2

因为 $10000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10000$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2500 x]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 2500$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2500 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2500 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 2500 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 2500 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

解题步骤 2.3

将 $- 2500$ 乘以 $1$ 。

$0 - 2500 + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{16 + x^{2}}$ 重写成 ${(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$0 - 2500 + \frac{d}{d x} [3750 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

因为 $3750$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3750 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3750 \frac{d}{d x} [{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$0 - 2500 + 3750 \frac{d}{d x} [{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 16 + x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $16 + x^{2}$ 。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

解题步骤 3.3.3

使用 $16 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $16 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

解题步骤 3.5

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))$

解题步骤 3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))$

解题步骤 3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))$

解题步骤 3.9

在公分母上合并分子。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))$

解题步骤 3.10

化简分子。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))$

解题步骤 3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))$

解题步骤 3.11

将负号移到分数的前面。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))$

解题步骤 3.12

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))$

解题步骤 3.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{{(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))$

解题步骤 3.14

组合 $2$ 和 $\frac{{(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$0 - 2500 + 3750 (\frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

解题步骤 3.15

组合 $\frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

解题步骤 3.16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 x}{2 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.17

约去公因数。

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 x}{2 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.18

重写表达式。

$0 - 2500 + 3750 \frac{x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.19

组合 $3750$ 和 $\frac{x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$0 - 2500 + \frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $0$ 中减去 $2500$ 。

$- 2500 + \frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$\frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2500$

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