微积分学示例

$2 \cos^{3} (e^{2 x})$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos^{3} (e^{2 x})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (e^{2 x})]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (e^{2 x})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \cos (e^{2 x})$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (e^{2 x})$ 。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (e^{2 x})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (3 \cos^{2} (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

解题步骤 3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 (\cos^{2} (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = e^{2 x}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $e^{2 x}$ 。

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

解题步骤 4.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

解题步骤 4.3

使用 $e^{2 x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$6 \cos^{2} (e^{2 x}) (- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) (\sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $2 x$ 。

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 6.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 6.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 6 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

解题步骤 7.4

化简表达式。

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解题步骤 7.4.1

将 $e^{2 x}$ 乘以 $1$ 。

$- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

解题步骤 7.4.2

重新排序 $- 12 \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ 的因式。

$- 12 e^{2 x} \cos^{2} (e^{2 x}) \sin (e^{2 x})$

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