微积分学示例

$16 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

解题步骤 1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ 。

$16 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + y^{2}$ 。

$16 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$16 (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} + y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$16 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$32 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$32 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 3.4

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 0)$

解题步骤 3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x)$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $32$ 。

$64 (x^{2} + y^{2}) x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$(64 x^{2} + 64 y^{2}) x$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$64 x^{2} x + 64 y^{2} x$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$64 (x^{1} x^{2}) + 64 y^{2} x$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$64 x^{1 + 2} + 64 y^{2} x$

解题步骤 4.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$64 x^{3} + 64 y^{2} x$

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