微积分学示例

$2 {(x - 3)}^{2} (4 x - 3)$

解题步骤 1

将 ${(x - 3)}^{2}$ 重写为 $(x - 3) (x - 3)$ 。

$\frac{d}{d x} [2 ((x - 3) (x - 3)) (4 x - 3)]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [2 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (4 x - 3)]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (4 x - 3)]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)]$

解题步骤 3.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)]$

解题步骤 3.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (4 x - 3)]$

解题步骤 3.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)]$

解题步骤 4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [(x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [(x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)]$

解题步骤 5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ 且 $g (x) = 4 x - 3$ 。

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x - 3] + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $4 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

解题步骤 6.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

解题步骤 6.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

解题步骤 6.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) (4 + 0) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

解题步骤 6.6

化简表达式。

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解题步骤 6.6.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$2 ((x^{2} - 6 x + 9) \cdot 4 + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

解题步骤 6.6.2

将 $4$ 移到 $x^{2} - 6 x + 9$ 的左侧。

$2 (4 \cdot (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

解题步骤 6.7

根据加法法则， $x^{2} - 6 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

解题步骤 6.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

解题步骤 6.9

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))$

解题步骤 6.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))$

解题步骤 6.11

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]))$

解题步骤 6.12

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x - 6 + 0))$

解题步骤 6.13

将 $2 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$2 (4 (x^{2} - 6 x + 9) + (4 x - 3) (2 x - 6))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$2 (4 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 \cdot 9 + (4 x - 3) (2 x - 6))$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$2 (4 x^{2}) + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 ((4 x - 3) (2 x - 6))$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$2 (4 x^{2}) + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 ((4 x - 3) (2 x) + (4 x - 3) \cdot - 6)$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$2 (4 x^{2}) + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x) - 3 (2 x) + (4 x - 3) \cdot - 6)$

解题步骤 7.5

运用分配律。

$2 (4 x^{2}) + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x) - 3 (2 x) + 4 x \cdot - 6 - 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.6

运用分配律。

$2 (4 x^{2}) + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.7

合并项。

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解题步骤 7.7.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 x^{2} + 2 (4 (- 6 x)) + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.7.2

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$8 x^{2} + 2 (- 24 x) + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.7.3

将 $- 24$ 乘以 $2$ 。

$8 x^{2} - 48 x + 2 (4 \cdot 9) + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.7.4

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$8 x^{2} - 48 x + 2 \cdot 36 + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.7.5

将 $2$ 乘以 $36$ 。

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (4 x (2 x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.7.6

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (8 x \cdot x) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.7.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (8 (x^{1} x)) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.7.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (8 (x^{1} x^{1})) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.7.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (8 x^{1 + 1}) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.7.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 2 (8 x^{2}) + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.7.11

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} + 2 (- 3 (2 x)) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.7.12

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.7.13

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 12 x + 2 (4 x \cdot - 6) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.7.14

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 12 x + 2 (- 24 x) + 2 (- 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.7.15

将 $- 24$ 乘以 $2$ 。

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 12 x - 48 x + 2 (- 3 \cdot - 6)$

解题步骤 7.7.16

将 $- 3$ 乘以 $- 6$ 。

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 12 x - 48 x + 2 \cdot 18$

解题步骤 7.7.17

将 $2$ 乘以 $18$ 。

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 12 x - 48 x + 36$

解题步骤 7.7.18

从 $- 12 x$ 中减去 $48 x$ 。

$8 x^{2} - 48 x + 72 + 16 x^{2} - 60 x + 36$

解题步骤 7.7.19

将 $8 x^{2}$ 和 $16 x^{2}$ 相加。

$24 x^{2} - 48 x + 72 - 60 x + 36$

解题步骤 7.7.20

从 $- 48 x$ 中减去 $60 x$ 。

$24 x^{2} - 108 x + 72 + 36$

解题步骤 7.7.21

将 $72$ 和 $36$ 相加。

$24 x^{2} - 108 x + 108$

微积分学 示例

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