微积分学示例

$y^{2} + 10 x y + 12 x - 8$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $y^{2} + 10 x y + 12 x - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 1.2

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [10 x y]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $10 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x y$ 对 $x$ 的导数是 $10 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + 10 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 10 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 2.3

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$0 + 10 y + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [12 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + 10 y + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 10 y + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 3.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$0 + 10 y + 12 + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 4

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 10 y + 12 + 0$

解题步骤 5

合并项。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 和 $10 y$ 相加。

$10 y + 12 + 0$

解题步骤 5.2

将 $10 y + 12$ 和 $0$ 相加。

$10 y + 12$

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