微积分学示例

$1 + \cos (2 x)$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $1 + \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$0 - \sin (2 x) \cdot 2$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 \sin (2 x)$

解题步骤 3

从 $0$ 中减去 $2 \sin (2 x)$ 。

$- 2 \sin (2 x)$

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