微积分学示例

$1 - \sec^{2} (x)$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $1 - \sec^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$

解题步骤 1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sec^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 2.2.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 2.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 2.4

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$0 - (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))$

解题步骤 2.5

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$0 - (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

解题步骤 2.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 3

从 $0$ 中减去 $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 。

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

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