微积分学示例

$x^{3} e^{3 x}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = e^{3 x}$ 。

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{3} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{3} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{3} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.2

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$x^{3} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{3} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (3 x^{2})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$3 e^{3 x} x^{3} + 3 e^{3 x} x^{2}$

解题步骤 4.2

将 $3 e^{3 x} x^{3} + 3 e^{3 x} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$3 x^{3} e^{3 x} + 3 x^{2} e^{3 x}$

微积分学 示例

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