微积分学示例

$x^{5} + y^{5} \cdot (15 x y)$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{5} + y^{5} \cdot (15 x y)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{5} \cdot (15 x y)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{5} \cdot (15 x y)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y^{5} \cdot (15 x y)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{5} \cdot (15 x y)]$ 。

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解题步骤 2.1

通过指数相加将 $y^{5}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.1.1

移动 $y$ 。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y \cdot y^{5} \cdot (15 x)]$

解题步骤 2.1.2

将 $y$ 乘以 $y^{5}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y^{1} y^{5} \cdot (15 x)]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y^{1 + 5} \cdot (15 x)]$

解题步骤 2.1.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y^{6} \cdot (15 x)]$

解题步骤 2.2

将 $15$ 移到 $y^{6}$ 的左侧。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 \cdot y^{6} x]$

解题步骤 2.3

因为 $15 y^{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 y^{6} x$ 对 $x$ 的导数是 $15 y^{6} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 x^{4} + 15 y^{6} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 x^{4} + 15 y^{6} \cdot 1$

解题步骤 2.5

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$5 x^{4} + 15 y^{6}$

解题步骤 3

重新排序项。

$15 y^{6} + 5 x^{4}$

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